論理学 logic
否定詞と接続詞の論理学
否定詞:文の審議に働きかける
真偽を反転させる
否定詞も接続詞も含まない命題を原子命題、原子命題を元に否定詞や接続詞を用いて構成した命題を分子命題
分子命題の真偽はそれを構成する原子命題の真偽の関数になっている
なにが原子命題か分子命題かはその文の推論がどのように形式化されるかによる
「彼は不幸だ」が原子命題であることもあるし、「彼は幸福ではない」と考え分子命題とすることもある
基本的な真理関数
否定 negation: $ \neg P
連言 conjunction: $ P\land Q
選言 disjunction: $ P\lor Q
PとQが両方成り立つときどうするか
両立的選言と排反的選言
普通は両立的選言
条件法 conditional: $ P \to Q
$ P \supset Qだったりもする
二値原理
$ P \equiv Qだったりもする
論理式
命題記号:$ P
論理記号: $ \neg,\land,\lor,\to,\leftrightarrow
命題記号と論理記号が有意味に並んだ物を論理式
定義
1. 原子命題を表す記号$ P,Q,...は論理式である
2. $ A,Bが論理式であるとき以下も論理式
$ (\neg A)
$ (A) \land(B)
$ (A) \lor(B)
$ (A) \to(B)
$ (A) \leftrightarrow(B)
原子式の真理値に何を入れも1になる関数: 恒真関数
トートロジー
$ P \lor \neg P排中律
$ (P \to Q)\to (\neg Q \to \neg P)対偶律
論理的真理
~0になる関数: 恒偽関数
矛盾式
分類
命題論理/述語論理
意味論/構文論
真理関数的意味論
公理系
1. 以下のような仕方で構成される論理式を定理と呼ぶ
2. 無前提に定理として承認されるいくつかの論理式を決める。これを公理と呼ぶ
3. ある定理ないし諸定理からさらにどんな定理を導いて良いか規定した規則を導出規則と呼ぶ
4. 公理と導出規則を用いて次々論理式を構成していく。こうして構成された論理式を定理と呼ぶ
code:t
公理 -導出規則-> 定理 -導出規則-> 定理 -導出規則->... 公理系
ユークリッド幾何学
点や線には意味がある
点や線をなにかに置き換えても成り立つ
意味抜きにされた物が公理系
自然演繹体系 NK
数学的に「自然な」形式化体系
自然演繹に基づく古典論理の形式的体系: NK
または伝統的論理学
1. 文の基本形は<主語+述語>
2. 文は肯定と否定という二つの質を持つ
3. 文は「すべて」と「ある」の二つの量を持つ
SはPであるからは自動的に4つの基本文型が定まる
すべてのSはPである
すべてのSはPでない
あるSはPである
あるSはPでない
Sが固有名だとおかしなことになる
すべての花子、ある花子
名辞論理と命題論理の統合
伝統的論理学は集合の包含関係、命題論理学は集合の要素の関係
命題論理の三段論法
もし...ならばという条件文=仮言三段論法
伝統的論理学の三段論法
...であるという断定文=定言算段論法
=> そこまで遠くない
伝統的論理学の限界
「真知子は春樹が好きだ、それゆえ真知子にはだれか好きな相手がいる」
真知子や春樹は伝統的論理学が本来考える名辞ではない
伝統的論理学が扱うのは「虎」や「猫」などの一般名
=虎の集合、概念
真知子は特定の個人
このような個物を表す名前を固有名、固有名であわらす個物を個体という
伝統的論理学は個体を扱う物ではなかった
課題
固有名をどうか使うか
関係文をどう扱うか
真知子は春樹が好きだ
集合的ではない文
多重量化をどう扱うか
だれもが誰かを愛してる
名辞から関数へ: 犬 -> □は犬である
命題論理の公理系LPと述語論理の公理系Lについての無矛盾性と完全性
公理系の完全性
1. 定理はすべて論理的真理である: 公理系の健全性
2. 論理的真理のすべてが定理として証明されている: 狭い意味での公理系の完全性